Modelos de ejercicios de examen

Matemáticas II de 2º de Bachillerato de ciencias

Bloque Geometría.

 

1.     Puntos_ 1

a.     Pertenencia a rectas y planos. 1

b.     Intersecciones_ 1

c.     Simétricos_ 2

d.     Segmentos_ 2

e.     Proyecciones_ 2

f.      Distancias_ 2

g.     Paralelogramos_ 2

2.     Ecuaciones de la recta_ 2

3.     Ecuaciones del plano_ 3

4.     Posiciones relativas_ 3

5.     Vectores_ 3

6.     Distancias_ 3

a.     Distancia entre dos puntos. 3

b.     Distancia de un punto a una recta. 3

c.     Distancia de un punto a un plano. 3

d.     Distancia de una recta a un plano (sólo si la recta y el plano son paralelos, pues en otro caso, la recta y el plano se cortarían en un punto y por tanto la distancia entre ambos sería 0). 3

7.     Ángulos_ 3

8.     Perímetros, áreas y volúmenes_ 4

 

  1. Puntos
    1. Pertenencia a rectas y planos.

                                                              i.      Determinar si un punto pertenece a una recta de la que se conocen sus ecuaciones (paramétricas, continua o implícitas)

                                                            ii.      Determinar si 3 (o más) puntos están alineados.

                                                          iii.      Determinar si un punto pertenece a una recta conociendo dos puntos de la misma.

                                                           iv.      Determinar si un punto pertenece a una recta de la que se conocen un punto y su vector de dirección.

                                                             v.      Determinar si 4 (o más) puntos son coplanarios.

                                                           vi.      Determinar si un punto pertenece a un plano del que conocemos su ecuación. (paramétricas o implícita).

                                                         vii.      Determinar si un punto pertenece a un plano del que conocemos 3 puntos.

                                                       viii.      Determinar si un punto pertenece a un plano del que conocemos un punto y dos de sus direcciones.

                                                           ix.      Determinar si un punto pertenece a un plano del que conocemos un punto y su vector normal.

Nota: en todos los problemas anteriores, el punto estudiado puede depender de un parámetro.

    1. Intersecciones

                                                              i.      Punto de intersección entre una recta y un plano.

                                                            ii.      Punto de intersección entre dos rectas.

                                                          iii.      Punto de intersección entre tres planos.

    1. Simétricos

                                                              i.      Simétrico de un punto respecto de otro punto.

                                                            ii.      Simétrico de un punto respecto de una recta.

                                                          iii.      Simétrico de un punto respecto de un plano.

    1. Segmentos

                                                              i.      Dados los puntos A y B, determinar los puntos que dividen el segmento AB en 2, 3, 4,… partes iguales.

    1. Proyecciones

                                                              i.      Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.

    1. Distancias

                                                              i.      Punto de una recta que está a una distancia dada de otro punto (En general este problema tendrá dos soluciones).

                                                            ii.      Punto de una recta que equidista de dos puntos.

                                                          iii.      Punto de una recta que equidista de otro punto y una recta.

                                                           iv.      Punto de una recta que equidista de otro punto y un plano.

                                                             v.      Punto de una recta que equidista de dos rectas.

                                                           vi.      Punto de una recta que equidista de una recta y un plano.

                                                         vii.      Punto de una recta que equidista de dos planos.

Nota: los problemas ii a vii pueden plantearse con distancias diferentes a cada uno de los dos elementos dados en el enunciado en lugar de con equidistancias.

    1. Paralelogramos

                                                              i.      Coordenadas del punto A conocidos B, C y D sabiendo que ABCD es un paralelogramo.

                                                            ii.      Coordenadas de los vértices A y B conocidos C y D y sabiendo que ABCD es un rectángulo y que A (y B) pertenecen a una recta dada.

                                                          iii.      Coordenadas de A y B conociendo C y D sabiendo que ABCD es un cuadrado.

                                                           iv.      Coordenadas de A y C conociendo B y D sabiendo que ABCD es un cuadrado (el problema se distingue del anterior en que los vértices conocidos antes eran consecutivos y ahora son opuestos).

  1. Ecuaciones de la recta
    1. Recta que pasa por un punto y tiene dirección d.
    2. Recta que pasa por dos puntos.
    3. Recta paralela a otra recta que pasa por un punto.
    4. Recta que pasa por un punto y corta perpendicularmente a otra recta.
    5. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano.
    6. Recta que pasa por un punto, es paralela a un plano dado y corta a otra recta dada.
    7. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos rectas dadas.
    8. Perpendicular común a dos rectas dadas (es la recta que corta a las dos y es perpendicular a ambas) (además, será la recta que pasa por los puntos que determinan la distancia mínima entre ambas rectas).
    9. Recta común a dos planos.
    10. Recta común a un haz de planos (se denomina a veces familia de planos en lugar de haz).
  2. Ecuaciones del plano
    1. Plano que pasa por un punto y direcciones u y v.
    2. Plano que pasa por un punto y vector normal n.
    3. Plano que pasa por tres puntos.
    4. Plano que contiene a un triángulo del que se conocen sus vértices.
    5. Plano que pasa por un punto y es paralelo a otro plano.
    6. Plano que pasa por un punto y contiene a una recta (que no pasa por el punto, ya que, en otro caso hay infinitas soluciones).
    7. Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta.
    8. Plano que pasa por un punto, es paralelo a una recta y perpendicular a otro plano.
    9. Plano que pasa por un punto y pertenece a un haz de planos (se denomina a veces familia de planos en lugar de haz).
    10. Plano que contiene a una recta y es paralelo a otra.
    11. Plano que contiene a una recta y es perpendicular a un plano.
    12. Plano de un haz que es paralelo a una recta dada.

4.      Posiciones relativas

a.      Estudio de la posición relativa de dos rectas.

    1. Estudio de la posición relativa de una recta y un plano.
    2. Estudio de la posición relativa de dos planos.
    3. Determinar si dos rectas son perpendiculares.
    4. Determinar si una recta y un plano son perpendiculares.
    5. Determinar si dos planos son perpendiculares.

Nota: todos los ejercicios de estudio de posiciones relativas suelen depender de uno o más parámetros.

Ortogonal es un sinónimo de perpendicular.

  1. Vectores
    1. Determinar si varios vectores son linealmente dependientes (puede depender de parámetros).
    2. Determinar si un vector se puede obtener como combinación lineal de otros dados (puede depender de parámetros).
    3. Coordenadas de un vector unitario y perpendicular a otros dos vectores dados. 
  2. Distancias
    1. Distancia entre dos puntos.
    2. Distancia de un punto a una recta.
    3. Distancia de un punto a un plano.
    4. Distancia de una recta a un plano (sólo si la recta y el plano son paralelos, pues en otro caso, la recta y el plano se cortarían en un punto y por tanto la distancia entre ambos sería 0).
  3. Ángulos
    1. Ángulo entre dos rectas.
    2. Ángulo entre una recta y un plano.
  4. Perímetros, áreas y volúmenes
    1. Perímetro de un polígono conocidos sus vértices.
    2. Área de un triángulo conocidos sus vértices.
    3. Área del triángulo ABC conocidos A y B y sabiendo que C pertenece a una recta paralela a AB (si no nos dicen que la recta es paralela a AB habrá que demostrarlo)
    4. Área de un paralelogramo conocidos sus vértices (sólo se necesitan 3) (producto vectorial).
    5. Área del paralelogramos ABCD conocidos A y B y sabiendo que la recta que contiene al lado CD pasa por un punto dado.
    6. Volumen de un paralelepípedo conocidos sus vértices (sólo se necesitan 4) (producto mixto)
    7. Volumen de un tetraedro conocidos sus vértices (sólo se necesitan 4) (producto mixto)