Colectivo Graca

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Sección de Matemáticas

La teoría

¿Por qué usamos paréntesis?

En una sección anterior hemos visto ejemplos de cómo se definen las operaciones con números enteros.
Debes tener presente que dichas definiciones sólo incluyen el caso de dos números. Así que nos queda por responder a:
¿Cómo se definen las operaciones con tres números?
La respuesta a esta pregunta es en principio un poco negativa, ya que no se da una definición directa para operar con 3 números, sino que se efectúa la operación entre dos de ellos y luego la operación entre el resultado obtenido y el otro número.
Veamos algunos ejemplos:

En la parte de la izquierda hemos sumado los dos primeros números y el resultado con el tercero.
A la derecha hemos efectuado primero la suma entre el 2º y el 3er. número y después hemos sumado el 1er. número con el resultado.
En ambos casos coincide el resultado, así que parece que para operar con tres números podremos empezar por donde queramos.

Nota: si no recuerdas cómo efectuar sumas con números enteros puedes repasar en el siguiente enlace. Un problema que se resuelve sumando números enteros

Veamos si es cosa de la suma o también ocurre con el resto de operaciones

De momento vamos bien, si todo son multiplicaciones parece que también podemos comenzar por donde queramos.

Nota: si no recuerdas cómo efectuar multiplicaciones con números enteros puedes repasar en los siguientes enlaces. Un problema que se resuelve multiplicando números enteros

Otro problema que se resuelve multiplicando números enteros

¿Y si mezclamos sumas y multiplicaciones?

¡Oh, oh! ¡No coincide ni el signo en los resultados! Pues no da lo mismo empezar por cualquier sitio.
Esto nos obliga a pensar en lo siguiente:
¿Cómo indicamos por dónde se debe empezar a operar?
Lo primero que se me ocurre es empezar por la izquierda. Si todo son sumas o todo multiplicaciones parece que da igual. Con el último ejemplo, si queremos empezar por la suma, pues ya está, porque está a la izquierda, y si queremos empezar por la multiplicación pues escribimos
(-3) · (+4) + (+5) en lugar de (+5) + (-3) · (+4)

Parece que esto resuelve el problema, porque basta con darle la vuelta a las operaciones anteriores si queremos empezar por la que quedó a la derecha, de tal forma que aparezca a la izquierda, y resulta que no ha cambiado el resultado.

Pero no cantemos victoria todavía. ¿Qué pasará con la resta y con la división? Veamos.

Vuelve a ser importante por dónde empezamos a operar porque no coinciden los resultados.

Nota: si no recuerdas cómo efectuar restas con números enteros puedes repasar con el siguiente ejemplo.
Un problema que se resuelve restando números enteros

Vamos a intentar lo de antes, esto es, decidimos empezar por la izquierda, con lo que, para comenzar por la segunda resta, escribimos
(+4) - (-5) - (-3) en lugar de (-3) - (+4) - (-5)
Ahora bien, ¿coincidirá el resultado después de esta alteración?

Está claro que no coincide con lo que esperábamos, así que no podemos empezar por donde queramos y no sirve de nada dar la vuelta a las operaciones.

Lo mismo ocurre con la división.

Y si pretendemos la estrategia de colocar la 2ª operación a la izquierda para indicar que se debe empezar por ella

cambia el resultado, luego no sirve.

Nota: si no recuerdas cómo efectuar divisiones con números enteros puedes repasar con el siguiente ejemplo.
Un problema que se resuelve dividiendo números enteros

En resumen, tenemos la obligación de indicar cuál de las dos operaciones hay que efectuar en primer lugar. Una forma natural hubiera sido indicarlo mediante el lenguaje natural antes de escribir las operaciones, como en los siguientes ejemplos:



Parece que ahora sí hemos hecho desaparecer el problema.
Sin embargo, el método tiene sus inconvenientes. Ten en cuenta que el lenguaje de las matemáticas tiene intención de ser universal. Como ya sabrás, sin depender del idioma que utilicemos para comunicarnos en distintas partes del mundo, en todas ellas encontraremos que se usan los mismos símbolos matemáticos para los números y sus operaciones. Sin embargo, al introducir el lenguaje natural como apoyo a las operaciones, en los países anglosajones encontraríamos, por ejemplo:

Si lo entendiste, estupendo, ¿Y al viajar a países francófonos?

¿También sin problema? Increíble. Nos daremos entonces un paseo por Grecia.

O por Rusia.

O por algún país árabe.


Parece que esto se complica un poco.
Volvamos atrás y tratemos de darle solución a este nuevo inconveniente. De manera frecuente a lo largo de la historia se han tomado algunas de las lenguas como referente, estableciendo el acuerdo de comunicarnos entre personas de distintas nacionalidades siempre en dichas lenguas. Es lo que, aunque sólo en cierta forma, ocurre en esta época con el inglés.
Adoptemos esta posible solución, pero según propuesta de "Los Nikis" y según su análisis detallado de la situación internacional:
"Los McDonalds están de vacas flacas,
se ha impuesto la tortilla de patatas,
en las Vegas no hay Black Jack,
ahora se juega al cinquillo
y la moda es en rojo y amarillo."
De donde se deduce que "seremos un imperio de nuevo", por lo que adoptaremos el convenio de referirnos a la operación que se debe efectuar en primer lugar utilizando en todo el mundo el español.

En otros lugares tendrán ahora que aprender al menos un poco de bello español, pero para nosotros parece ser que el asunto quedó definitivamente resuelto. ¿Seguro?

Si seguimos añadiendo operaciones puede que la cosa se complique, así que vamos a probar.
Supongamos que en la siguiente combinación de operaciones


se nos plantea la siguiente pregunta:
¿en qué orden se efectuaron las operaciones?
Si te fijas bien podrás comprobar que el enunciado completo del conjunto de operaciones debió haber sido


¿Te imaginas cómo sería el texto de la operación completa en el caso de encontrarnos con conjuntos de 10 operaciones? ¿Y de 100 operaciones consecutivas? ¿Y si fuesen aún más?
Desde luego, aunque el método elegido para referirnos al orden en que se deben efectuar las operaciones parece funcionar sin dificultad, no parece que sea demasiado cómodo si llegamos a estos casos, así que daremos otra vuelta de tuerca que mejore lo que ya tenemos, y de camino intentaremos evitar a todo el mundo aprender español para poder hacer unas cuentecillas.

La mejora consiste en utilizar símbolos en lugar del lenguaje natural. Evidentemente, los símbolos que usemos deben poder ser entendidos por los demás, por lo que, tal y como hicimos al suponer que alcanzamos el acuerdo internacional de usar el español para indicar el orden en que se espera que se realicen las distintas operaciones que aparecen en un cálculo, habrá que ponerse de acuerdo para elegir los símbolos.

Ya que se trata de definir un orden, bien podríamos pensar en adoptar el convenio de utilizar los números ordinales.
El ejemplo anterior podría quedar así:


Supongo que te parece más cómodo esto que el planteamiento anterior, y además hemos conseguido eliminar la necesidad de aprender español. El lenguaje simbólico de las matemáticas no sólo es universal, sino preciso y conciso.
No obstante, lo anterior era tan solo un ejemplo de un posible convenio que podríamos haber adoptado, pero no es el que realmente fijó el mundo matemático. Ten en cuenta que a los matemáticos no nos gusta escribir en dos líneas lo que somos capaces de escribir en una sola. Así que lo que realmente decidimos fue introducir los símbolos dentro del cálculo, y no aparte. El convenio adoptado por todos consiste en introducir dentro de un paréntesis las operaciones que deben efectuarse primero.
Comenzamos con un ejemplo sencillo con dos operaciones entre números naturales.


En el cálculo de la izquierda comenzaríamos por la suma, y en el de la derecha por la multiplicación. Efectúa ambos y comprueba que no coinciden los resultados.

Veamos qué ocurre al aumentar el número de operaciones. Como aparecerán dos paréntesis, tendremos que decidir cuál de ellos corresponde a la primera operación y cuál a la segunda.
Nos podemos encontrar dos casos:
Que un paréntesis esté en el interior del otro, en cuyo caso el paréntesis interior corresponde a la primera operación.


O que los dos paréntesis afecten a operaciones separadas. En este caso podemos empezar por cualquiera de ellos sin que esto afecte al resultado, pero es recomendable comenzar por la izquierda.


Observa que, al efectuar la operación de cada uno de los paréntesis, hemos escrito el resultado, pero sin paréntesis.

Veamos algunos ejemplos más complicados.


¿Que marea un poco tanto paréntesis? ¿Que cuesta trabajo ver dónde empieza y termina cada uno de ellos? Pues con números enteros es bastante peor.


Para aliviar este embrollo, utilizaremos algunos símbolos adicionales. En lugar de usar siempre "( )" sustituiremos algunos de ellos por corchetes "[ ]" y por llaves "{ }".
Repitamos los ejemplos con este nuevo convenio y comprobemos que resulta más fácil reconocer dónde empieza y termina cada uno y cuál de ellos se encuentra en el interior de los demás.




Mejor, ¿verdad?
Una mejora adicional para la lectura, aunque algo incómoda para la escritura, consiste en adjudicar distintos colores para cada paréntesis. Algunos programas informáticos, como Excel, establecen esta asignación de colores de manera automática.
Los dos últimos ejemplos se verían así.


Con esto hemos terminado la primera parte dedicada al orden en que deben efectuarse las operaciones al aparecer combinadas.
Me gustaría que recordaras que el uso de paréntesis no ha sido la única opción considerada, sino que fue la elección entre otras posibilidades porque resolvía los problemas que teníamos planteados de la forma más sencilla. Si en el futuro se encontrara otra forma de mejorar esto, seguro que adoptaríamos un nuevo convenio, ya que la Matemática está siempre en continua evolución.

Un último apunte: ¿No vamos a tener que escribir demasiados paréntesis en cálculos que combinen, por ejemplo, 10 operaciones? ¿No será posible adoptar algún convenio adicional que permita simplificar las expresiones con paréntesis de tal forma que podamos escribir el menor número de éstos pero siga quedando claro en qué orden deben efectuarse las operaciones?
La respuesta es sí y será el motivo del siguiente capítulo.