Matemáticas II. Análisis matemático (1ª parte): límites, continuidad, derivadas y gráficas de funciones.

1) Si calcula a, b, c, d.

Los datos de los que podemos disponer para resolver el ejercicio pueden ser, entre otros, los siguientes:

· La gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x=x₀

· La gráfica corta al eje OY en el punto de ordenada y=y₀

· La gráfica pasa por el punto P=(x₁,y₁)

· f tiene un máximo relativo en x=x₂

· f tiene un mínimo relativo en x=x₃

· f tiene un punto de inflexión en x=x₄

· La recta tangente en el punto de abscisa x=x₅ tiene pendiente

· La recta tangente a f en x=x₆ es y=mx+n

Nota: este mismo ejercicio podría plantearse siendo f(x) una función no polinómica, pero el procedimiento para extraer conclusiones de cada uno de los datos anteriores no cambia.

2) Dada la función f(x)= “expresión analítica de la función”, hallar:

· Las asíntotas de f

· Los intervalos de crecimiento y decrecimiento

· Los intervalos de concavidad y convexidad

· Los extremos relativos de f

· Los extremos absolutos de la función en un intervalo dado (puede que no existan). Hay que dar las abscisas (valor de x) de los puntos en que se alcanzan y los valores que toma la función (valor de y=f(x)) en dichos puntos

· Los puntos de inflexión de f

· La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=x₀

· Hallar un punto (a,f(a)) de la gráfica en que la recta tangente sea paralela al eje OX

· Hallar un punto (a,f(a)) de la gráfica en que la recta tangente tenga pendiente m

· Hallar un punto (a,f(a)) de la gráfica en que la recta tangente sea corte a alguno de los ejes en un punto dado

· Hallar un punto (a,f(a)) de la gráfica en que la recta tangente pase por un punto P dado

· Esbozar la gráfica de f

· Identificar la gráfica de f de entre varias gráficas dadas

3) Resolver problemas de optimización

4) Siendo f(x) una función definida a trozos:

· Comprobar si es continua

· Comprobar si es derivable

· Si la expresión analítica de f depende de uno o varios parámetros, encontrar el valor de los mismos para que f sea continua o derivable

Nota: nos pueden preguntar también cualquiera de las cuestiones presentadas en los ejercicios del tipo 2)

5) Conocida la expresión analítica de la función f:

· Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)) donde a es un parámetro utilizado para representar cualquier valor de x

· Hallar los puntos de corte de cada una de las rectas anteriores con los ejes coordenados

· Hallar el valor de a para el cual la distancia entre los dos puntos de corte es mínima (o máxima).

· Hallar el valor de a para el cual la distancia entre los puntos de corte con el eje de abscisas y de ordenadas verifican una relación dada (como por ejemplo, es igual a 5)

· Hallar el valor de a para el cual la distancia entre el punto de corte con el eje de abscisas y el punto de la gráfica (a,f(a)) verifica una relación dada con la distancia entre el punto de corte con el eje de ordenadas y el punto (a,f(a)). (Como por ejemplo que la primera distancia sea el doble o la mitad que la segunda)